关于FMM中的球谐函数的定义
FMM论文中公式3.15使用的球谐函数定义与通常不太一样，为此记录一下。详细可以看这里。 通常的球谐函数定义：
\[Y_n^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}P_n^m(cos \theta) e^{im \phi}, 0 \le m \le n \tag{1}\]其中伴随勒让德多项式 $P_n^m(x)$定义为勒让德多项式$P_n(x)$的$n$次导数乘上$x$的$m$次:
\[P_n^m(x) = (-1)^m (1 -x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x), m\ge0 \tag{2}\]由于$P_n(x)$是$x$的$n$次函数，所以当$m>n$时$P_n^m(x)=0$。 对于负次的情况可以参考这里，扩充公式(2)：
\[P_n^{-m}(x) = (-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m(x) \tag{3}, 0 \le m \le n\]注意到$P_n^m$定义里这个鬼畜的$(-1)^m$，在定义球谐函数时有些时候会将它从$P_n^m$里摘出来放到$Y_n^m$里，导致$P_n^m$递推公式的细微变化，然而依然满足公式(6)的关系。
基于公式(3)，可以扩充公式(1)到负次的情况：
整理一下公式(1)和(4)：
\[Y_n^{m}(\theta, \phi) = \begin{cases} \sqrt{\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}P_n^m(cos \theta) e^{im \phi} &, 0 \le m \le n\\ (-1)^m\sqrt{\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!}}P_n^{|m|}(cos \theta) e^{im \phi} &, -n \le m \lt 0 \end{cases}\ \tag{5}\]注意到此时满足：
\[Y_n^{-m}(\theta, \phi) =(-1)^m \overline{Y_n^m(\theta, \phi)}, -n \le m \le n \tag{6}\]在分解$\frac{1}{r}$形电势时使用球谐函数加法定理把勒让德多项式其可以展开为多个球谐函数的积和：
\[P_n(cos \gamma)=\sum_{m=-n}^{n}Y_n^m(\theta_1, \phi_1)\overline{Y_n^m(\theta_2, \phi_2)} \tag{7}\]或者
\[P_n(cos \gamma)=\sum_{m=-n}^{n} (-1)^m Y_n^m(\theta_1, \phi_1)Y_n^{-m}(\theta_2, \phi_2) \tag{8}\]其中$\gamma$为两个向量的夹角。对比可以发现(7)的形式比较简单，只需要求一次$Y_n^m$即可，而(8)就要麻烦一些，因此倾向于用(7)去计算。然而由于(5)的分段定义导致我们需要对$m$的正负进行讨论，将(6)带入(7)可以发现：
\[\begin{align} P_n(cos \gamma)&=\sum_{m=-n}^{n}Y_n^m(\theta_1, \phi_1)\overline{Y_n^m(\theta_2, \phi_2)} \\ &=\sum_{m=0}^{n}Y_n^m(\theta_1, \phi_1)\overline{Y_n^m(\theta_2, \phi_2)}+\sum_{m=1}^{n}Y_n^{-m}(\theta_1, \phi_1)\overline{Y_n^{-m}(\theta_2, \phi_2)}\\ &=\sum_{m=0}^{n}Y_n^m(\theta_1, \phi_1)\overline{Y_n^m(\theta_2, \phi_2)}+\sum_{m=1}^{n}(-1)^m\overline{Y_n^{m}(\theta_1, \phi_1)}\overline{(-1)^m\overline{Y_n^{m}(\theta_2, \phi_2)}}\\ &=\sum_{m=0}^{n}Y_n^m(\theta_1, \phi_1)\overline{Y_n^m(\theta_2, \phi_2)}+\sum_{m=1}^{n}\overline{Y_n^{m}(\theta_1, \phi_1)}Y_n^{m}(\theta_2, \phi_2) \tag{9} \end{align}\]公式(9)意味着我们需要对成地累加$Y_n^1, \overline{Y_n^1},Y_n^2, \overline{Y_n^2},\dots$，换句话说，当计算负次的时$Y_n^m$，我们希望正好它等于对应的正次的$Y_n^m$的共轭(即公式(12))， 为此记：
\[S_n^{m}(\theta, \phi) = \begin{cases} Y_n^m(\theta, \phi) &, 0 \le m \le n\\ \overline{Y_n^{|m|}(\theta, \phi)} &, -n \le m \lt 0 \end{cases}\ \tag{10}\]于是$S_n^m$定义为：
\[S_n^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!}}P_n^{|m|}(cos \theta) e^{im \phi}, -n \le m \le n \tag{11}\]此时$S_n^m$满足：
\[S_n^{-m} = \overline{S_n^m},-n \le m \le n \tag{12}\]公式(11)就是FMM论文中使用的定义3.15(论文中没用$S_n^m$这个符号而是直接用的$Y_n^m$符号具有一定误导性)。
此时公式(7)可以改写为：
这对应着论文中的公式3.16，由于$S_n^m$的定义是连续的，因此计算$P_n$时就不需要讨论了。